Question

為改變閩江口環(huán)境，加強(qiáng)對(duì)化工廠污染源處理，某政協(xié)委員針對(duì)閩江口環(huán)境狀況進(jìn)行了實(shí)地調(diào)研．據(jù)測(cè)定，該處的污染指數(shù)y與到污染源的距離x成反比，同時(shí)與附近污染源的強(qiáng)度m成正比，且比例系數(shù)為k，即y=

km

x

，若該處與污染源的距離為4km，污染源的強(qiáng)度為2時(shí)，則污染指數(shù)y等于1．現(xiàn)已知相距36km的A，B兩家化工廠（污染源）的污染強(qiáng)度分別為正數(shù)a、b，它們連線上任意一點(diǎn)C處的污染指數(shù)y等于兩化工廠對(duì)該處的污染指數(shù)之和．設(shè)AC=x（km）．（0＜x＜36）
（1）試將y表示為x的函數(shù)；
（2）現(xiàn)準(zhǔn)備在A，B連線上C處建健身房，若a=1，b=25時(shí)，請(qǐng)問C在何處是最佳選擇，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求出點(diǎn)C受A、B污染源污染指數(shù)，即可得到點(diǎn)C處污染指數(shù)；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的極值與最值，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)比例系數(shù)為k，由1=

2k

4

得k=2．
設(shè)點(diǎn)C受A污染源污染指數(shù)為

2a

x

，點(diǎn)C受B污染源污染指數(shù)為

2b

36-x

，
從而點(diǎn)C處污染指數(shù)y=

2a

x

+

2b

36-x

（0＜x＜36）；
（2）a=1，b=25時(shí)，y=

2

x

+

50

36-x

（0＜x＜36）
∴y′=2[-

1

x2

+

25

(36-x)2

]，
令y′=0，得x=6或x=-9（舍去），
當(dāng)x∈（0，6）時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（6，+∞）時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴x=6是唯一的極小值點(diǎn)，即為函數(shù)的最小值點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，屬于中檔題．