Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)N（0，-$\sqrt{3}$）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)（0，2）距離的最大值，并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知中橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)N（0，-$\sqrt{3}$），求出b²，a²可得答案．
（2）求出橢圓的參數(shù)方程，代入兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)N（0，-$\sqrt{3}$）．
故b=$\sqrt{3}$，即b²=3，
又∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，
∴c=$\frac{1}{2}$a，則b²=a²-c²=$\frac{3}{4}$a²=3，
∴a²=4，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{{3}^{\;}}=1$，
（2）由已知可得橢圓的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.（θ為參數(shù)）$，
則橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)（0，2）距離d=$\sqrt{4{cos}^{2}θ+（\sqrt{3}sinθ-2）^{2}}$=$\sqrt{-{sin}^{2}θ-4\sqrt{3}sinθ+8}$，
當(dāng)sinθ=-1，cosθ=0時，d取最大值2+$\sqrt{3}$，
此時動點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-$\sqrt{3}$）

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是橢圓的簡單性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，難度中檔．