Question

已知數(shù)列{a_n}共有9項(xiàng)，其中，a₁=a₉=1，且對(duì)每個(gè)i∈{1，2，…8}，均有

ai+1

ai

∈{2，1，-

1

2

}．
（1）記S=

a2

a1

+

a3

a2

+…+

a9

a8

，則S的最小值為

 

．
（2）數(shù)列{a_n}的個(gè)數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：令bi=

ai+1

ai

(1≤i≤8)，則對(duì)每個(gè)符合條件的數(shù)列{a_n}，滿足

8 π

i=1

b_i=

8 π

i=1

ai+1

ai

=

a9

a1

=1，且b_i∈{2，1，-

1

2

}，1≤i≤8．反之，由符合上述條件的八項(xiàng)數(shù)列{b_n}可唯一確定一個(gè)符合題設(shè)條件的九項(xiàng)數(shù)列{a_n}．由此能求出結(jié)果．

解答： 解：令bi=

ai+1

ai

(1≤i≤8)，則對(duì)每個(gè)符合條件的數(shù)列{a_n}，
滿足

8 π

i=1

b_i=

8 π

i=1

ai+1

ai

=

a9

a1

=1，且b_i∈{2，1，-

1

2

}，1≤i≤8．
反之，由符合上述條件的八項(xiàng)數(shù)列{b_n}可唯一確定一個(gè)符合題設(shè)條件的九項(xiàng)數(shù)列{a_n}．
記符合條件的數(shù)列{b_n}的個(gè)數(shù)為N，
由題意知b_i（1≤i≤8）中有2k個(gè)-

1

2

，2k個(gè)2，8-4k個(gè)1，
且k的所有可能取值為0，1，2．
（1）對(duì)于三種情況，當(dāng)k=2時(shí)，S取到最小值6．
（2）N=1+

C

2 8

C

2 6

+

C

4 8

C

4 4

=491．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)比值之和的最小值的求法，考查滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．