Question

傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫(huà)點(diǎn)或用小石子表示數(shù)．他們研究過(guò)如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列{a_n}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列{b_n}，可以推測(cè)：
（1）b₂₀₁₄是數(shù)列{a_n}中的第

 

項(xiàng)；
（2）b_2k-1=

 

．（用k表示）

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專(zhuān)題：推理和證明

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件及圖可得出a_n+1=a_n+（n+1），由此遞推式可以得出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為，a_n=

1

2

n（n+1），由此可列舉出三角形數(shù)1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…
，從而可歸納出可被5整除的三角形數(shù)每五個(gè)數(shù)中出現(xiàn)兩個(gè)，即每五個(gè)數(shù)分為一組，則該組的后兩個(gè)數(shù)可被5整除，由此規(guī)律即可求出b₂₀₁₄在數(shù)列{a_n}中的位置；
（II）由（I）中的結(jié)論即可得出b_2k-1═

1

2

（5k-1）（5k-1+1）=

5k(5k-1)

2

．

解答： 解：（I）由題設(shè)條件可以歸納出a_n+1=a_n+（n+1），故a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=n+（n-1）+…+2+1=

1

2

n（n+1）
由此知，三角數(shù)依次為1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…
由此知可被5整除的三角形數(shù)每五個(gè)數(shù)中出現(xiàn)兩個(gè)，即每五個(gè)數(shù)分為一組，則該組的后兩個(gè)數(shù)可被5整除，
由于b₂₀₁₄是第2014個(gè)可被5整除的數(shù)，
故它出現(xiàn)在數(shù)列{a_n}按五個(gè)一段分組的第1007組的最后一個(gè)數(shù)，
由此知，b₂₀₁₄是數(shù)列{a_n}中的第1007×5=5035個(gè)數(shù)．
（II）由于2k-1是奇數(shù)，由（I）知，第2k-1個(gè)被5整除的數(shù)出現(xiàn)在第k組倒數(shù)第二個(gè)，故它是數(shù)列{a_n}中的第k×5-1=5k-1項(xiàng)，所以b_2k-1═

1

2

（5k-1）（5k-1+1）=

5k(5k-1)

2

故答案為：5035，

5k(5k-1)

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)列的表示及歸納推理，解題的關(guān)鍵是由題設(shè)得出相鄰兩個(gè)三角形數(shù)的遞推關(guān)系，由此列舉出三角形數(shù)，得出結(jié)論“被5整除的三角形數(shù)每五個(gè)數(shù)中出現(xiàn)兩個(gè)，即每五個(gè)數(shù)分為一組，則該組的后兩個(gè)數(shù)可被5整除”，本題綜合性強(qiáng)，有一定的探究性，是高考的重點(diǎn)題型，解答時(shí)要注意總結(jié)其中的規(guī)律．