Question

已知正△PAB與△ABC所在平面垂直，且AB=

3

，AC=2，BC=1，M，N分別是AC、PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BC⊥PA；
（Ⅱ）求異面直線(xiàn)MN與PA所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì),異面直線(xiàn)及其所成的角

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明BC⊥AB，利用仔細(xì)與平面垂直的性質(zhì)定理證明BC⊥平面PAB，推出BC⊥PA．
（Ⅱ）取AB中點(diǎn)O，連接MO，NO，得到∠MNO為異面直線(xiàn)MN與PA所成的角，通過(guò)解三角形求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵AB=

3

，AC=2，BC=1，∴AB²+BC²=AC²，
∴BC⊥AB             …（3分）
又∵面PAB⊥面ABC，交線(xiàn)為AB，BC?面ABC
∴BC⊥平面PAB．…（6分）
∴BC⊥PA．…（7分）
（Ⅱ）取AB中點(diǎn)O，連接MO，NO，
∵N是PB的中點(diǎn)，∴NO∥PA，
∴∠MNO為異面直線(xiàn)MN與PA所成的角．…（10分）
∵M(jìn)O∥BC，由（Ⅰ）可得MO⊥平面PAB．
在直角三角形MNO中，MO=

1

2

，NO=

3

2

，
∴tan∠MNO=

3

3

，∠MNO=30°，
∴異面直線(xiàn)MN與PA所成的角為30°．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面垂直的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，異面直線(xiàn)所成角的求法，考查計(jì)算能力．