Question

3．已知圓C：x²+y²-2x-4y-20=0，直線(xiàn)l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．
（1）求證：直線(xiàn)l與圓C相交；
（2）計(jì)算直線(xiàn)l被圓C截得的最短的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）直線(xiàn)L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，即 m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，顯然過(guò)直線(xiàn)2x+y-7=0 及直線(xiàn)x+y-4=0的交點(diǎn)A，由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得交點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）把 圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心C的坐標(biāo)和半徑，要使直線(xiàn)L被圓C截得的線(xiàn)段長(zhǎng)度最小，需心C到直線(xiàn)L的距離d最大，d的最大為CA線(xiàn)段的長(zhǎng)度，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：直線(xiàn)L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，即 m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，顯然過(guò)直線(xiàn)2x+y-7=0 及直線(xiàn)x+y-4=0的交點(diǎn)A．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，1），
故直線(xiàn)L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（3，1）．
（2）解：圓C：x²+y²-2x-4y-20=0 即 （x-1）²+（y-2）²=25，表示以C（1，2）為圓心，以5為半徑的圓．
設(shè)圓心C到直線(xiàn)L的距離為d，要使直線(xiàn)L被圓C截得的線(xiàn)段長(zhǎng)度最小，需d最大．由題意可知，d的最大為CA線(xiàn)段的長(zhǎng)度．
由兩點(diǎn)間的距離公式可得CA=$\sqrt{5}$．
∴直線(xiàn)l被圓C截得的最短的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{25-5}$=4$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，判斷圓心C到直線(xiàn)L的距離d的最大為CA線(xiàn)段的長(zhǎng)度，是解題的關(guān)鍵．