Question

2．設(shè)f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）
（1）求f（x）=lnx在點(diǎn)（e，f（e））的切線方程；
（2）求g（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值；
（3）求a的取值范圍，使得g（a）-g（x）＜$\frac{1}{a}$對(duì)任意x＞0成立．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=lnx求導(dǎo)得f′（x）=$\frac{1}{x}$，從而可得f′（e）=$\frac{1}{e}$，f（e）=1；從而寫(xiě)出切線方程；
（2）g（x）=f（x）+f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$的定義域?yàn)椋?，+∞），從而求導(dǎo)g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性及最值；
（3）g（a）-g（x）＜$\frac{1}{a}$對(duì)任意x＞0成立可化為g（a）-$\frac{1}{a}$＜g（x）對(duì)任意x＞0成立，從而得g（a）-$\frac{1}{a}$＜1；從而可得．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$，f′（e）=$\frac{1}{e}$，f（e）=1，
∴f（x）=lnx在點(diǎn)（e，f（e））的切線方程為y-1=$\frac{1}{e}$（x-e），
即y=$\frac{1}{e}$x；
（2）g（x）=f（x）+f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$的定義域?yàn)椋?，+∞），
g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
故g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；
故g_min（x）=g（1）=0+1=1；
（3）g（a）-g（x）＜$\frac{1}{a}$對(duì)任意x＞0成立可化為g（a）-$\frac{1}{a}$＜g（x）對(duì)任意x＞0成立，
故g（a）-$\frac{1}{a}$＜1；
即lna+$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$＜1，
故lna＜1，
故0＜a＜e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．