Question

已知橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，其右焦點(diǎn)F與橢圓Γ的左頂點(diǎn)的距離是3．兩條直線l₁，l₂交于點(diǎn)F，其斜率k₁，k₂滿足k₁k₂=-

3

4

．設(shè)l₁交橢圓Γ于A、C兩點(diǎn)，l₂交橢圓Γ于B、D兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓Γ的方程；
（Ⅱ）寫出線段AC的長(zhǎng)|AC|關(guān)于k₁的函數(shù)表達(dá)式，并求四邊形ABCD面積S的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)

c

a

=

1

2

，a+c=3，由此能求出橢圓Γ的方程．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出F（1，0）．將通過(guò)焦點(diǎn)F的直線方程y=k（x-1）代入橢圓Γ的方程

x2

4

+

y2

3

=1，得（3+4k²）x²-8k²x+（4k²-12）=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性能求出四邊形ABCD的面積的最大值．

解答： （本題滿分15分）
解：（Ⅰ）設(shè)右焦點(diǎn)F（c，0）（其中c=

a2-b2

），
依題意

c

a

=

1

2

，a+c=3，
解得a=2，c=1．…（3分）
∴b=

a2-c2

=

3

，
∴橢圓Γ的方程是

x2

4

+

y2

3

=1．    …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F(xiàn)（1，0）．
將通過(guò)焦點(diǎn)F的直線方程y=k（x-1）代入橢圓Γ的方程

x2

4

+

y2

3

=1，
得（3+4k²）x²-8k²x+（4k²-12）=0，
其判別式△=（8k²）²-16（k²-3）（3+4k²）=144（k²+1）．
特別地，對(duì)于直線l₁，若設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
則|AC|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

1+ k 2 1

|x1-x2|
=

1+ k 2 1

•

144( k 2 1 +1)

3+4 k 2 1

，k₁∈R且k₁≠0．…（10分）
又設(shè)B（x₃，y₃），D（x₄，y₄），由于B、D位于直線l₁的異側(cè)，
∴k₁（x₃-1）-y₃與k₁（x₄-1）-y₄異號(hào)．
∴B、D到直線l₁的距離之和：
d=

|k1(x3-1)-y3|

1+ k 2 1

+

|k1(x4-1)-y4|

1+ k 2 1

=

|[k1(x3-1)-y3]-[k1(x4-1)-y4]|

1+ k 2 1

=

|k1(x3-x4)-(y3-y4)|

1+ k 2 1

=

|k1-k2|

1+ k 2 1

•|x3-x4|
=

|k1-k2|

1+ k 2 1

•

144( k 2 2 +1)

3+4 k 2 2

．…（12分）
綜合可得，四邊形ABCD的面積：
S=

1

2

|AC|•d=

72 ( k 2 1 +1)( k 2 2 +1)(k1-k2)2

(3+4 k 2 1 )(3+4 k 2 2 )

．
∵k1k2=-

3

4

，
∴t=

k

2 1

+

k

2 2

≥2|k1k2|=

3

2

，
∴S=f(t)=

72 (t+ 25 16 )(t+ 3 2 )

18+12t

=6

t+ 25 16 t+ 3 2

=6

1+ 1 16 t+ 3 2

，
當(dāng)t∈[

3

2

，+∞)時(shí)，f（t）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)t=

3

2

，即{k1，k2}={-

3

2

，

3

2

}時(shí)，
四邊形ABCD的面積取得最大值

7

2

3

．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查四邊形面積的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．