Question

已知一個數(shù)列{a_n}，a₁=1，a_n+1-2a_n+3a_n•a_n+1=0，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：將原式兩邊同除以a_n•a_n+1，得到

1

an+1

=

1

2

（

1

an

+3），令b_n=

1

an

，則有b_n+1=

1

2

（b_n+3），再由b_n+1+t=

1

2

（b_n+t），可得，t=-3，即有b_n+1-3=

1

2

（b_n-3），則數(shù)列{b_n-3}為等比數(shù)列，公比為

1

2

，首項為b₁-3=1-3=-2，再由等比數(shù)列的通項公式，即可得到結(jié)果．

解答： 解：∵a_n+1-2a_n+3a_n•a_n+1=0，
∴a_n=

1

2

（a_n+1+3a_n•a_n+1），
∴

1

an+1

=

1

2

（

1

an

+3），
令b_n=

1

an

，則有b_n+1=

1

2

（b_n+3），
再由b_n+1+t=

1

2

（b_n+t），
可得，t=-3，
即有b_n+1-3=

1

2

（b_n-3），
則數(shù)列{b_n-3}為等比數(shù)列，公比為

1

2

，首項為b₁-3=1-3=-2，
即有b_n-3=（-2）•（

1

2

）^n-1，
即有b_n=3-2^2-n，
則有a_n=

1

3-22-n

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查構(gòu)造等比數(shù)列求通項的方法，考查運算能力，屬于中檔題．