Question

18．已知O是銳角△ABC的外心，AB=6，AC=10．若$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，且2x+10y=5，則cos∠BAC=（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $-\frac{1}{3}$
• C． $-\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 如圖所示，過O點(diǎn)分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E．利用垂經(jīng)定理可得：AD=DB，AE=EC．于是$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$=18.$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}$=50．由于$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，分別作數(shù)量積可得：$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$x{\overrightarrow{AB}}^{2}$+$y\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=$x\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+y{\overrightarrow{AC}}^{2}$，與2x+10y=5，聯(lián)立解得即可．

解答 解：如圖所示，
過O點(diǎn)分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E．
則AD=DB，AE=EC．
$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$=$\frac{1}{2}×{6}^{2}$=18．
$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}$=$\frac{1}{2}×1{0}^{2}$=50．
∵$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$x{\overrightarrow{AB}}^{2}$+$y\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=$x\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+y{\overrightarrow{AC}}^{2}$，
化為18=36x+60ycosA，50=60xcosA+100y，
又2x+10y=5，聯(lián)立解得cosA=$\frac{1}{3}$，x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{9}{20}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂經(jīng)定理、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、方程的思想，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．