Question

【題目】如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，M、N分別是棱AA1、AD的中點(diǎn)，設(shè)E是棱AB的中點(diǎn)．

（1）求證：MN∥平面CEC1；
（2）求平面D1EC1與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，

AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，

M、N分別是棱AA1、AD的中點(diǎn)，設(shè)E是棱AB的中點(diǎn)，

∴DD1∥CC1，AD∥CE，

∵AD∩DD1=D，CC1∩CE=C，

AD，DD1平面A1DD1A，CC1，CE平面CEC1，

∴平面A1DD1A∥平面CEC1，

∵M(jìn)N平面A1DD1A，∴MN∥平面CEC1

（2）解：平面D1EC1與平面ABCD所成角就是平面ABC1D1與平面ABCD所成的角，

∵CC1⊥平面ABCD，過(guò)C作CF⊥AB，交AB于F，連結(jié)C1F，

則∠CFC1是平面D1EC1與平面ABCD所成角，

∵CC1=AA1=2，CE=BC=BE=2，CF= = ，

∴tan∠CFC1= = = ．

∴平面D1EC1與平面ABCD所成角的正切值為

【解析】（1）推導(dǎo)出DD1∥CC1 ， AD∥CE，從而平面A1DD1A∥平面CEC1 ， 由此能證明MN∥平面CEC1 ． （2）平面D1EC1與平面ABCD所成角就是平面ABC1D1與平面ABCD所成的角，過(guò)C作CF⊥AB，交AB于F，連結(jié)C1F，則∠CFC1是平面D1EC1與平面ABCD所成角，由此能求出平面D1EC1與平面ABCD所成角的正切值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行．