Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C所對的邊，且b²=ac，向量m=（cos（A-C），1）和n=（1，cosB）滿足m•n=

3

2

．
（1）求sinAsinC的值；
（2）求證：三角形ABC為等邊三角形．

Answer 1

分析：（1）由m=（cos（A-C），1）和n=（1，cosB）滿足m•n=

3

2

，我們不難得到cos（A-C）+cos（A+C）=

3

2

，和差化積后，即可得到sinAsinC的值；
（2）由（1）的結論及b²=ac，我們易得B角的大小，再由余弦定理，我們可以得到a，c兩邊的關系，進行判斷三角形ABC為等邊三角形．

解答：（1）解：由m•n=

3

2

得，
cos(A-C)+cosB=

3

2

，
又B=π-（A+C），得cos（A-C）-cos（A+C）=

3

2

，
即cosAcosC+sinAsinC-（cosAcosC-sinAsinC）=

3

2

，
所以sinAsinC=

3

4

．
（2）證明：由b²=ac及正弦定理得sin²B=sinAsinC，
故sin2B=

3

4

．
于是cos2B=1-

3

4

=

1

4

，
所以cosB=

1

2

或-

1

2

．
因為cosB=

3

2

-cos（A-C）＞0，
所以cosB=

1

2

，故B=

π

3

．
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，
即b²=a²+c²-ac，
又b²=ac，
所以ac=a²+c²-ac，
得a=c．
因為B=

π

3

，
所以三角形ABC為等邊三角形．

點評：要想判斷一個三角形的形狀，我們有兩種思路：一是判斷最大角是銳角、直角還是鈍角；二是判斷是否有兩邊長相等．