Question

（1）在等差數(shù)列{a_n}中，已知a₁=20，前n項和為S_n，且S₁₀=S₁₅，求當n取何值時，S_n取得最大值，并求出它的最大值；
（2）已知數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=4n-25，求數(shù)列{|a_n|}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得10×20+

10×9

2

d=15×20+

15×14

2

d，從而d=-

5

3

，進而求出S_n=-

5

6

（n-

25

2

）²+

3125

24

，由此能求出當n=12或13時，S_n取得最大值130．
（2）由已知得{a_n}是首項為-21，公差為4的等差數(shù)列，從而數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=2n²-23n，由a_n=4n-25≥0，得n≥

25

4

，從而n≤6時，a_n＜0，n≥7時，a_n＞0，由此能求出數(shù)列{|a_n|}的前n項和．

解答： 解：（1）∵{a_n}是等差數(shù)列，a₁=20，前n項和為S_n，且S₁₀=S₁₅，
∴10×20+

10×9

2

d=15×20+

15×14

2

d，
解得d=-

5

3

，
∴S_n=20n+

n(n-1)

2

×(-

5

3

)=-

5

6

n2+

125n

6

=-

5

6

（n-

25

2

）²+

3125

24

，
∴當n=12或13時，S_n取得最大值S₁₂=S₁₃=130．
（2）∵數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=4n-25，
∴a₁=4-25=-21，a_n-a_n-1=（4n-25）-（4n-4-25）=4，
∴{a_n}是首項為-21，公差為4的等差數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=-21n+

n(n-1)

2

×4=2n²-23n，
由a_n=4n-25≥0，得n≥

25

4

，
∴n≤6時，a_n＜0，n≥7時，a_n＞0，
設數(shù)列{|a_n|}的前n項和為T_n，
當n≤6時，T_n=-（a₁+a₂+…+a_n）=-S_n=23n-2n²；
當n≥7時，T_n=S_n-2S₆=2n²-23n-2（2×36-23×6）=2n²-23n+132．
∴數(shù)列{|a_n|}的前n項和：Tn=

23n-2n2，n≤6 2n2-23n+132，n≥7

．

點評：本題考查等差數(shù)列的前n項和取最大值時項數(shù)的求法和最大值的求法，考查數(shù)列的各項絕對值的和的求法，是中檔題，解題時要注意等差數(shù)列的性質的合理運用．