Question

12．已知函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-2^x．
（1）若f（x）=$\frac{15}{4}$，求x的值；
（2）若不等式f（2m-mcosθ）+f（-1-cosθ）＜f（0）對所有θ∈[0，$\frac{π}{2}$]都成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-2^x=$\frac{15}{4}$可求得2^x=$\frac{1}{4}$，從而可求得x的值；
（2）由f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-2^x可判斷f（x）為奇函數(shù)，且為減函數(shù)，不等式f（2m-mcosθ）+f（-1-cosθ）＜f（0）?2m-mcosθ＞1+cosθ對所有θ∈[0，$\frac{π}{2}$]都成立，分離參數(shù)m，利用函數(shù)的單調(diào)性可求實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）令t=2^x＞0，則$\frac{1}{t}$-t=$\frac{15}{4}$，解得t=-4（舍）或t=$\frac{1}{4}$，…3分，
即2^x=$\frac{1}{4}$，所以x=-2…6分
（2）因為f（-x）=${（\frac{1}{2}）}^{-x}$-2^-x=2^x-${（\frac{1}{2}）}^{x}$=-f（x），
所以f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，…7故f（0）=0，由
f（2m-mcosθ）+f（-1-cosθ）＜f（0）=0得：f（2m-mcosθ）＜f（1+cosθ）…8分，
又f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-2^x在R上單調(diào)遞減，…9分，
所以2m-mcosθ＞1+cosθ對所有θ∈[0，$\frac{π}{2}$]都成立，…10分，
所以m＞$\frac{1+cosθ}{2-cosθ}$，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，…12分，
令μ=cosθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，則μ∈[0，1]，
y=$\frac{1+μ}{2-μ}$=-1+$\frac{3}{2-μ}$，μ∈[0，1]的最大值為2，所以m的取值范圍是m＞2…16分

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，突出考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用，考查等價轉(zhuǎn)化思想與分離參數(shù)法、換元法的運用，屬于難題．