Question

7．已知f（x）是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=4x-x²，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，4]上的值域?yàn)閇-4，4]，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是[-2-2$\sqrt{2}$，-2]．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合以及一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：如x＜0，則-x＞0，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=4x-x²，
∴當(dāng)-x＞0時(shí)，f（-x）=-4x+x²，
∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（0）=0，且f（-x）=-4x+x²=-f（x），
則f（x）=4x+x²，x＜0，
則函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4x-{x}^{2}，}&{x≥0}\\{4x+{x}^{2}，}&{x＜0}\end{array}\right.$，
則當(dāng)x＞0，f（x）=4x-x²=-（x-2）²+4≤4，
當(dāng)x＜0，f（x）=4x+x²=（x+2）²-4≥-4，
當(dāng)x＜0時(shí)，由4x+x²=4，即x²+4x-4=0得x=$\frac{-4-\sqrt{16+16}}{2}$=-2-2$\sqrt{2}$，（正值舍掉），
若函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，4]上的值域?yàn)閇-4，4]，
則-2-2$\sqrt{2}$≤t≤-2，
即實(shí)數(shù)t的取值范圍是[-2-2$\sqrt{2}$，-2]，
故答案為：[-2-2$\sqrt{2}$，-2]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，根據(jù)條件結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)的解析式以及一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．