Question

已知函數(shù)f（x），當x＞0時，f（x）=

1+lnx

x

．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+

1

3

）（a＞0）上存在極值點，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若x≥1時，不等式f（x）≥

k

x+1

恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）試證明：ln（n+1）＞n-2 （

1

2

+

2

3

+

3

4

+…+

n

n+1

）（n∈N^*）

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導函數(shù)，確定（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，可得函數(shù)f（x）在x=1處取得唯一的極值，利用函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+

1

3

）（a＞0）上存在極值點，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當x≥1時，f（x）≥

k

x+1

恒成立，等價于

1+lnx

x

≥

k

x+1

恒成立，分離參數(shù)可得k≤

(x+1)(1+lnx)

x

，求出右邊函數(shù)的最小值，即可求實數(shù)k的取值范圍；
（3）先證明lnx≥1-

2

x+1

＞1-

2

x

，再令x=

k+1

k

（k=1，2，…，n），即可證明結論．

解答： （1）解：當x＞0時，f(x)=

1+lnx

x

，有f′（x）=-

lnx

x2

由f′（x）＞0，可得0＜x＜1；f′（x）＜0，可得x＞1，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)f（x）在x=1處取得唯一的極值．
由題意a＞0，且a＜1＜a+

1

3

，解得所求實數(shù)a的取值范圍為

2

3

＜a＜1；    …（4分）
（2）解：當x≥1時，f（x）≥

k

x+1

恒成立，等價于

1+lnx

x

≥

k

x+1

恒成立，
∴k≤

(x+1)(1+lnx)

x

…（5分）
令g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

（x≥1），由題意，k≤g（x）在[1，+∞）上恒成立
g′（x）=

x-lnx

x2

…（6分）
令h（x）=x-lnx（x≥1），則h′（x）=1-

1

x

≥0，當且僅當x=1時取等號．
∴h（x）=x-lnx在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）≥h（1）=1＞0．…（8分）
∴g′（x）=

x-lnx

x2

＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=g（1）=2．
∴k≤2．
∴所求實數(shù)k的取值范圍為（-∞，2]；…（9分）
（3）證明：由（2），當x≥1時，即f（x）≥

2

x+1

，即

1+lnx

x

≥

2

x+1

，．…（10分）
從而lnx≥1-

2

x+1

＞1-

2

x

．           …（12分）
令x=

k+1

k

（k=1，2，…，n），得ln

2

1

＞1-

2

2

，ln

3

2

＞1-

2•2

3

，…，ln

n+1

n

＞1-

2•n

n+1

將以上不等式兩端分別相加，
得ln（n+1）＞n-2（

1

2

+

2

3

+

3

4

+…+

n

n+1

）．       …（14分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查恒成立問題，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，有難度．