【題目】如圖①所示,四邊形為等腰梯形,,且于點(diǎn)為的中點(diǎn).將沿著折起至的位置,得到如圖②所示的四棱錐.
(1)求證:平面;
(2)若平面平面,求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2).
【解析】
試題分析:(1)取的中點(diǎn),連接,根據(jù)中位線,且,而,所以且,所以四邊形為平行四邊形,所以,所以平面;(2)以點(diǎn)為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,計(jì)算平面與平面的法向量,利用兩個(gè)法向量求得二面角的余弦值為.
試題解析:
(1)取的中點(diǎn),連接.
∵為的中點(diǎn),
∴,且,
∵圖①中四邊形為等腰梯形,,且,
∴,
∴,
∴四邊形為平行四邊形,∴,
∵平面平面,
∴平面
(2)易證兩兩垂直,故以點(diǎn)為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
∴,
所以,設(shè)平面的法向量為.
則令,得,
顯然為平面的一個(gè)法向量,
所以,
由圖知平面與平面所成的二面角為銳角,所以所求的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司生產(chǎn)一批產(chǎn)品需要原材料500噸,每噸原材料可創(chuàng)造利潤(rùn)12萬(wàn)元,該公司通過(guò)設(shè)備升級(jí),生產(chǎn)這批產(chǎn)品所需原材料減少了噸,且每噸原材料創(chuàng)造的利潤(rùn)提高;若將少用的噸原材料全部用于生產(chǎn)公司新開(kāi)發(fā)的產(chǎn)品,每噸原材料創(chuàng)造的利潤(rùn)為萬(wàn)元.
(1)若設(shè)備升級(jí)后生產(chǎn)這批產(chǎn)品的利潤(rùn)不低于原來(lái)生產(chǎn)該批產(chǎn)品的利潤(rùn),求的取值范圍;
(2)若生產(chǎn)這批產(chǎn)品的利潤(rùn)始終不高于設(shè)備升級(jí)后生產(chǎn)這批產(chǎn)品的利潤(rùn),求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線
(1)化的方程為普通方程,并說(shuō)明它們分別表示什么曲線;
(2)若上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為,Q為上的動(dòng)點(diǎn),求PQ的中點(diǎn)M到直線
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知過(guò)點(diǎn)的直線的參數(shù)方程是(為參數(shù)).以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程式為.
(Ⅰ)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線與曲線交于兩點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】等比數(shù)列{an}的公比為q,其前n項(xiàng)的積為Tn,并且滿足條件a1>1,a49a50-1>0,(a49-1)(a50-1)<0.給出下列結(jié)論:
①0<q<1;②a1a99-1<0;③T49的值是Tn中最大的;④使Tn>1成立的最大自然數(shù)n等于98.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),且點(diǎn)為其右焦點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)是否存在平行于的直線,使得直線與橢圓有公共點(diǎn),且直線與的距離等于4?若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足,數(shù)列中,對(duì)任意正整數(shù)
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使得數(shù)列是等比數(shù)列?若存在,請(qǐng)求出實(shí)數(shù)及公比的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓與直線相切.
(1)求圓的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)的直線截圓所得弦長(zhǎng)為,求直線的方程;
(3)設(shè)圓與軸的負(fù)半抽的交點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)作兩條斜率分別為的直線交圓于兩點(diǎn),且,證明:直線過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合,集合.
(1)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使?若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.
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