Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂是焦距等于6的雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，P是C上一點，若|PF₁|+|PF₂|=6a，且△PF₁F₂的最小內(nèi)角為30°，則C的方程為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的標準方程,雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)|PF₁|＞|PF₂|，由已知條件求出|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，利用余弦定理，結(jié)合焦距等于6，求出a，b，即可得到雙曲線的方程．

解答： 解：設(shè)|PF₁|＞|PF₂|，則|PF₁|-|PF₂|=2a，
又|PF₁|+|PF₂|=6a，解得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a．
則∠PF₁F₂是△PF₁F₂的最小內(nèi)角為30°，
∴|PF₂|²=|PF₁|²+|F₁F₂|²-2|PF₁|•|F₁F₂|cos30°，
∴（2a）²=（4a）²+（2c）²-2×4a×2c×

3

2

，
c=3代入可得a=

3

，
∴b=

9-3

=6，
∴C的方程為

x2

3

-

y2

6

=1．
故答案為：

x2

3

-

y2

6

=1．

點評：本題考查雙曲線的方程的求法，考查余弦定理，解題時要認真審題，要熟練掌握雙曲線的簡單性質(zhì)．