Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點F₁、F₂，點P在橢圓C上，且PF₁⊥F₁F₂，|PF₁|=

4

3

，|PF₂|=

14

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l過圓（x+2）²+（y-1）²=5的圓心M交橢圓于A、B兩點，且A、B關于點M對稱，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由橢圓的定義，可得2a=6，a=3，再由勾股定理，即可得到c，再由a，b，c的關系，解得b，進而得到橢圓方程；
（2）設出直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到x的方程，由中點坐標公式，即可得到k，檢驗判別式，即可得到直線方程．

解答： 解：（1）由于|PF₁|+|PF₂|=2a=

4

3

+

14

3

=6，則a=3，
由PF₁⊥F₁F₂，則|PF₂|²-|PF₁|²=|F₁F₂|²=（

14

3

）²-（

4

3

）²=20，
即有2c=2

5

，則c=

5

，b²=a²-c²=9-5=4，即b=2．
故橢圓C方程為：

x2

9

+

y2

4

=1；
（2）設A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由圓的方程（x+2）²+（y-1）²=5，可知圓心M為（-2，1），
可設直線l的方程為：y=k（x+2）+1，代入橢圓C的方程，可得，
（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0，
由于A，B關于點M對稱，則

x1+x2

2

=-

18k2+9k

4+9k2

=-2，解得k=

8

9

，
代入判別式△=（36k²+18k）²-4（4+9k²）（36k²+36k-27）＞0，則成立．
所以直線l的方程為y=

8

9

（x+2）+1，即8x-9y+25=0．

點評：本題考查橢圓的定義吧、方程和性質(zhì)，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去未知數(shù)，運用韋達定理，以及中點坐標公式，注意不要忘記判別式的檢驗，屬于中檔題和易錯題．