Question

如下圖，一條河寬1km，相距4km(直線距離)的兩座城市，A，B分別位于河的兩岸(假定岸是平行的直線)，現(xiàn)需鋪設(shè)一條電纜連通A與B，已知地下電纜的修建費(fèi)為每千米2萬元，水下電纜的修建費(fèi)為每千米4萬元，問應(yīng)如何鋪設(shè)電纜可使總的修建費(fèi)用最少？(＝1.732，＝2.236，＝3.8730)

Answer 1

答案：
解析：

思路　　本例的關(guān)鍵在于確定水中電纜的長度，即C點(diǎn)位置．由于選擇參變數(shù)的不同，總的修建費(fèi)的目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)方式各異，因而有判別式法、平均值不等式法、三角換元法、平面幾何作圖法等不同解法． 　　解答　　解法一 設(shè)C為OA上一點(diǎn)，OC＝x(km)， 　　則CA＝－x，BC＝． 　　∴總修建費(fèi)y＝2(－x)＋4移項(xiàng)并平方，得 　　12x2＋(8－4y)x－(y2－4y＋44)＝0． 　　∵△＝(8－4y)2＋48(y2－4y＋44) 　�。統(tǒng)2－4y＋48≥0(y＞0)， 　　∴y≥2＋2．當(dāng)y＝2＋2時(shí)， 　　2＋2＝2－2x＋4， 　　即3x2－2x＋1＝0，∴x＝∈(0，)， 　　即當(dāng)x＝時(shí)，y取最大值2＋2， 　　此時(shí)CA≈3.3(km)，BC≈1.2(km)． 　　答：先沿岸邊鋪設(shè)3.3km的地下電纜，再鋪設(shè)1.2km水下電纜連通A，B兩市時(shí)，總修建費(fèi)最少． 　　解法二　　設(shè)C為OA上一點(diǎn)， 　　∠OBC＝α，α∈(0，arccos)， 　　則BC＝，CA＝－tanα， 　　∴總修建費(fèi)y＝2(－tanα)＋ 　�。�2＋．令＝t， 　　則sinα＋tcosα＝2， 　　∴sin(α＋)＝． 　　由|sin(α＋)|≤1，解≤1(t＞0)得t≥， 　　∴y≥2＋2． 　　當(dāng)t＝時(shí)，由sinα＋tcosα＝2， 　　解之得x＝∈(0，arccos)． 　　此時(shí)CA＝－≈3.3(km)， 　　BC＝≈1.2(km)． 　　解法三　　如下圖，作∠DAO＝，在AO上任取一點(diǎn)C1，作C1E⊥AD，E為垂足，則AC1＝2C1E；作BF⊥AD，F(xiàn)為垂足，交AO為C． 　　因?yàn)樗�下電纜修建費(fèi)是地下電纜修建費(fèi)的2倍，所以AB的修建費(fèi)等于EC1B的修建費(fèi)． 　　而B到直線AD的最短距離為垂線段BF，所以ACB的修建費(fèi)最少． 　　∴OC＝，總修建費(fèi)最小值為2＋2 　　此時(shí)AC≈3.3(km)，BC≈1.2(km) 　　評析　　解法一叫做判別式法，在用判別式法求函數(shù)最值時(shí)應(yīng)注意最值是否能真正取到，即是否存在與最值相應(yīng)的自變量值，也就是“△≥0”的“＝”能否成立．簡單地說是應(yīng)驗(yàn)證．解法三是平面幾何作圖法，形象直觀，但必須敘述、推理嚴(yán)謹(jǐn)．