Question

設(shè)函數(shù)f（x）=3sinx+2cosx+1．若實(shí)數(shù)a、b、c使得af（x）+bf（x-c）=1對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則的值等于________．

Answer 1

-1
分析：作為一個(gè)選擇題，可以令C取特殊值來(lái)求值，作為一個(gè)解答題，需將af（x）+bf（x-c）=1用和差角公式進(jìn)行變形，利用恒成立的意義轉(zhuǎn)化成關(guān)于a，b，c的方程，解出a，b，c的值，進(jìn)而求解．
解答：令c=π，則對(duì)任意的x∈R，都有f（x）+f（x-c）=2，于是取a=b=，c=π，
則對(duì)任意的x∈R，af（x）+bf（x-c）=1，由此得=-1．
一般地，由題設(shè)可得f（x）=sin（x+∅）+1，f（x-c）=sin（x+∅-c）+1，其中0＜∅＜且tan∅=，，
于是af（x）+bf（x-c）=1可化為asin（x+∅）+bsin（x+∅-c）+a+b=1，即
asin（x+∅）+bsin（x+∅）cosC-bcos（x+∅）sinC+a+b-1=0，
所以（a+bcosC）sin（x+∅）-sinCcos（x+∅）++a+b-1=0，
由已知條件，上式對(duì)任意x∈R恒成立，故必有，
若b=0，則由（1）知a=0，顯然不滿足（3）式，故b≠0．所以，由（2）知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπ（k∈Z）．當(dāng)c=2kπ時(shí)，cosc=1，則（1）、（3）兩式矛盾，故c=2kπ+π（k∈Z），cosc=-1．由（1）、（3）知a=b=，所以=-1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)和差角公式的運(yùn)用與恒成立條件的轉(zhuǎn)化．解題過(guò)程中對(duì)不確定的情況要善于分類討論．