Question

已知等差數(shù)列{a_n}，其前n項和為S_n，若S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）對任意m∈N^*，將數(shù)列{a_n}中落入?yún)^(qū)間（2^m，2^m+1）內(nèi)的項的個數(shù)記為{b_m}
①求數(shù)列{b_m}的通項公式；
②記c_m=

2

22m-1-bm

，數(shù)列{c_m}的前m項和為T_m，求所有使得等式

Tm-t

Tm+1-t

=

1

ct+1

的正整數(shù)m，t．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質列方法求解a₁=1，d=2，即可得出通項公式．（2）求解2n-1＞2^m，2n-1＜2^2m，得出2^m-1+

1

2

＜n＜2^2m-1+

1

2

，即可得出項數(shù)b_m
（3）求出{c_n}通項公式，前n項和，再代入求解即可．

解答： 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}，其前n項和為S_n，若S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1，
∴4a₁-2d=0，a₁=d-1，∴a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1
（2）∵a_n=2n-1，
∴2n-1＞2^m，2n-1＜2^2m，
∴2^m-1+

1

2

＜n＜2^2m-1+

1

2

，
即項數(shù)2^2m-1-2^m-1，
∴①bm=22m-1-2m-1
∵c_m=

2

22m-1-bm

，
∴C_m=

2

2m-1

，
∴c₁=2，

Cn+1

Cn

=

1

2

，
∴{c_n}是等比數(shù)列，數(shù)列{c_m}的前m項和為T_m=

2(1-( 1 2 )m)

1- 1 2

即Tm=4(1-

1

2m

)，
∵所有使得等式

Tm-t

Tm+1-t

=

1

ct+1

∴（4-t）2^m=4+2^t-1
存在符合條件的正整數(shù)m=t=3，

點評：本題綜合考察了數(shù)列的性質，幾何不等式等知識，運算思維量大，屬于難題．