Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=2，E為CD中點(diǎn)．
（1）求證：B₁E⊥AD₁；
（2）在棱AA₁上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的長．若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接A₁D，B₁C，證明AD₁⊥平面A₁B₁CD，即可證得結(jié)論；
（2）取B₁A中點(diǎn)F，連結(jié)PF、EF，利用三角形的中位線的性質(zhì)，可得線線平行，從而可得線面平行．

解答： （1）證明：在長方體中，B₁A₁⊥平面ADD₁A₁，
∴B₁A₁⊥AD₁ 
在矩形ADD₁A₁中，∵AD=AA₁=2
∴矩形ADD₁A₁為正方形
∴A₁D⊥AD₁ 
又B₁A₁∥CD，∴AD₁⊥平面CDA₁B₁
∵E為CD中點(diǎn)
∴B₁E⊆平面CDA₁B₁
∴AD₁⊥B₁E

（2）解：存在AA₁中點(diǎn)P，AP=1時得DP∥平面B₁AE
取B₁A中點(diǎn)F，連結(jié)PF、EF
在△AA₁B₁中，PF平行且等于

1

2

A₁B₁   
在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁平行且等于CD，∵E為CD中點(diǎn)，
∴PF平行且等于DE
∴四邊形PFED為平行四邊形
∴DP∥EF
又EF⊆平面B₁AE，DP?平面B₁AE，
∴DP∥平面B₁AE

點(diǎn)評：本題考查線面垂直，線面平行，考查學(xué)生分析解決問題的能力，掌握線面垂直，線面平行的判定方法是關(guān)鍵．