Question

甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者不得分，比賽進(jìn)行到一方比另一方多2分或打滿6局時(shí)停止，設(shè)每局中甲獲勝的概率為

2

3

，乙獲勝概率為

1

3

，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立．
（1）求兩局結(jié)束時(shí)，比賽還要繼續(xù)的概率
（2）求比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)ξ的分布列及期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）事件“兩局結(jié)束時(shí)，比賽還要繼續(xù)”為前兩局甲、乙各勝一局；利用互斥事件的概率和公式及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法運(yùn)算求出事件“兩局結(jié)束時(shí)，比賽還要繼續(xù)”的概率．
（2）求出隨機(jī)變量可取得值；利用互斥事件的概率和公式及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式求出隨機(jī)變量取每一個(gè)值的概率；列出分布列；利用隨機(jī)變量的期望公式求出隨機(jī)變量的期望

解答：解：（1）設(shè)甲獲勝的概率記作P_甲，乙獲勝的概率為P_乙，依題，兩局結(jié)束時(shí)，還要進(jìn)行比賽的概率為P=p甲•p乙+p乙•p甲=

2

3

×

1

3

+

1

3

×

2

3

=

4

9

（4分）
（2）依題，ξ的可能取值為2、4、6
P(ξ=2)=(

2

3

)2+(

1

3

)2=

5

9

P(ξ=4)=

4

9

×

5

9

=

20

81

P(ξ=6)=(

4

9

)2=

16

81

，
故ξ的分布列為

ξ	2	4	6
P	5 9	20 81	16 81

（10分）
ξ的期望Eξ=2×

5

9

+4×

20

81

+6×

16

81

=

266

81

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查互斥事件的概率和公式、考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式、考查事隨機(jī)變量的分布列的求法、考查隨機(jī)變量的期望公式．