已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
6
3
，焦距是函數(shù)f（x）=x2-8的零點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，|CD|=
6
2
5
，求k的值．
考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）利用焦距是函數(shù)f（x）=x2-8的零點(diǎn)，求出c，利用離心率e=
6
3
，求出a，即可求出橢圓的方程；
（2）y=kx+2（k≠0）代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式，即可求k的值．
解答： 解：（1）∵焦距是函數(shù)f（x）=x2-8的零點(diǎn)，
∴2c=2
2
，∴c=
2
，
∵e=
c
a
=
6
3
，∴a=
3
，
∴橢圓的方程為
x2
3
+y2=1；
（2）設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），則
y=kx+2（k≠0）代入橢圓方程可得（1+3k2）x2+12kx+9=0，
∴x1+x2=-
12k
1+3k2
，x1x2=
9
1+3k2

∴|CD|=
1+k2
•
(x1+x2)2-4x1x2
=
6
2
5
，
∴k2=3，∴k=±
3
．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知矩陣M=
1
b
的一個(gè)特征值λ1=3及對應(yīng)的一個(gè)特征向量
e1
=
.
1
1
.
．
（1）求a，b的值；
（2）求曲線C：x2+4xy+13y2=1在M對應(yīng)的變換作用下的新曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過P（1，3）作兩互相垂直的直線l1和l2，l1交x軸于點(diǎn)A，l2與y軸交于點(diǎn)B，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-
π
3
）=-1，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2
2
cos（θ-
π
4
）．以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求曲線C2的直角坐標(biāo)方程；
（2）求曲線C2上的動(dòng)點(diǎn)M到曲線C1的距離的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=ex-
1
2
x2-ax（a∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的圖象在x=0處的切線方程為y=2x+b，求a，b的值；
（Ⅱ）若函數(shù)在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知（x
x
+
1
3x
）n的展開式中，前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為37．
（Ⅰ）求n的值；    
（Ⅱ）求x的整數(shù)次冪的項(xiàng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinx，
3
4
），
b
=（cosx，-1）．
（1）當(dāng)
a
∥
b
時(shí)，求
cos2x-sin2x
cos2x
的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=2（
a
+
b
）•
b
，求f（x）在[0，
7π
24
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知a=4，c=5，且S△ABC=6，求b．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若雙曲線x2+
y2
k
=1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2
2
，則實(shí)數(shù)k的值是
 
．

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