Question

4．已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PA與底面垂直，且PA=AB，若該四棱錐的側(cè)面積為16+4$\sqrt{2}$，則該四棱錐外接球的表面積為（1056-576$\sqrt{2}$）π．

Answer 1

分析 利用四棱錐的側(cè)面積為16+4$\sqrt{2}$，求出AB，可得四棱錐外接球的直徑為$\sqrt{3}a$=12$\sqrt{6}$-8$\sqrt{3}$，半徑為6$\sqrt{6}$-4$\sqrt{3}$，即可求出四棱錐外接球的表面積．

解答 解：設(shè)PA=AB=a，則
∵四棱錐的側(cè)面積為16+4$\sqrt{2}$，
∴2×$\frac{1}{2}{a}^{2}$+2×$\frac{1}{2}×a×\sqrt{2}a$=16+4$\sqrt{2}$，
∴a=12$\sqrt{2}$-8，
∴四棱錐外接球的直徑為$\sqrt{3}a$=12$\sqrt{6}$-8$\sqrt{3}$，半徑為6$\sqrt{6}$-4$\sqrt{3}$，
∴四棱錐外接球的表面積為4π（6$\sqrt{6}$-4$\sqrt{3}$）²=（1056-576$\sqrt{2}$）π．
故答案為：（1056-576$\sqrt{2}$）π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四棱錐外接球的表面積，求出四棱錐外接球的直徑是關(guān)鍵．