Question

14．若f（x）是定義域為[-1，0）∪（0，1]的奇函數，且當0＜x≤1時，f（x）=1-x，則不等式f（x）＜f（-x）+1的解集為（$\frac{1}{2}$，1]∪[-1，0）．

Answer 1

分析 先求出-1≤x＜0時，f（x）=-f（-x）=-1-x，再分類討論，化抽象不等式為具體的不等式，即可得出結論．

解答 解：設-1≤x＜0，則0＜-x≤1，
∵當0＜x≤1時，f（x）=1-x，
∴f（-x）=1+x，
∵f（x）是定義域為[-1，0）∪（0，1]的奇函數，
∴f（x）=-f（-x）=-1-x．
當0＜x≤1時，不等式f（x）＜f（-x）+1可化為1-x＜-1+x+1，∴x＞$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{2}$＜x≤1；
當-1≤x＜0時，不等式f（x）＜f（-x）+1可化為-1-x＜1+x+1，∴x＞-$\frac{3}{2}$，∴-1≤x＜0；
綜上，不等式f（x）＜f（-x）+1的解集為（$\frac{1}{2}$，1]∪[-1，0）．
故答案為：（$\frac{1}{2}$，1]∪[-1，0）．

點評 本題考查函數的奇偶性，考查解不等式，確定-1≤x＜0時，f（x）=-f（-x）=-1-x，正確分類討論是關鍵．