Question

8．函數(shù)y=$\frac{\sqrt{2x-{x}^{2}}}{x+1}$的最大值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． 1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 先求函數(shù)的定義域，然后兩邊平方，將式子整理為關(guān)于x的一元二次方程，該方程有解，則判別式非負構(gòu)造出關(guān)于y的不等式，解得y的最值，并求出取得最值時對應的x的值是否在定義域內(nèi)即可．

解答 解：由題意得2x-x²≥0得0≤x≤2，故定義域為[0，2]．
將原式兩邊平方整理后得：（y²+1）x²+（2y²-2）x+y²=0，
該方程有實數(shù)解，所以△=（2y²-2）²-4y²（y²+1）≥0．
解得$y≤\frac{\sqrt{3}}{3}$．將$y=\frac{\sqrt{3}}{3}$代入原方程得x=$\frac{1}{2}$．符合題意．
故${y}_{max}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查了判別式法求函數(shù)的值域，要注意取得最值時對應的自變量是否在函數(shù)的定義域內(nèi)取值．