Question

在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=

3

，E，F(xiàn)分別為AB，SB的中點(diǎn)．
（1）證明：AC⊥SB；
（2）求銳二面角F-CE-B的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，證明AC⊥平面SOB，即可證明AC⊥SB；
（2）求出二面角的平面角，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系，即可求銳二面角F-CE-B的余弦值．

解答： （1）證明：取AC中點(diǎn)O，連結(jié)SO，BO．
∵SA=SC，AB=AC，∴AC⊥SO且AC⊥BO，
∴AC⊥平面SOB，又SB?平面SOB，∴AC⊥SB．
（2）設(shè)OB與CE交于點(diǎn)G，取OB中點(diǎn)為M，作MH⊥CE交CE于點(diǎn)H，連結(jié)FM，F(xiàn)G．
∵平面SAC⊥平面ABC且AC⊥SO，
∴SO⊥平面ABC，
∵SO∥FM，∴FM⊥平面BCE，∴FM⊥CE，
從而CE⊥平面FMH．∴CE⊥FH，
∴∠FHM是二面角F-CE-B的平面角．
由△GHM∽△GEB得HM=

1

4

，
在Rt△FMH中FM=

2

2

，FH=

3

4

，
∴cos∠FHM=

HM

FH

=

1

3

，
故銳二面角F-CE-B的余弦值為

1

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查面面垂直的性質(zhì)，以及二面角的求解，根據(jù)對應(yīng)求出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．