Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x+1，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，求函數(shù)F（x）=f（x）-kx的最小值g（k）．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)F（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，函數(shù)F（x）的對(duì)稱軸為x=

k

2

-1，分對(duì)稱軸在區(qū)間[-1，1]的左側(cè)、中間、右側(cè)三種情況，分別利用單調(diào)性氣的函數(shù)的最小值．

解答： 解：由題意可得，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)F（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，
函數(shù)F（x）的對(duì)稱軸為x=

k

2

-1．
當(dāng)

k

2

-1＜-1時(shí)，函數(shù)F（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，故它的最小值g（k）=g（-1）=0．
當(dāng)-1≤

k

2

-1≤1時(shí)，函數(shù)F（x）在[-1，1]上沒(méi)有單調(diào)性，故它的最小值g（k）=g（

k

2

-1）=k-

k2

4

．
當(dāng)

k

2

-1＞1時(shí)，函數(shù)F（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，故它的最小值g（k）=g（1）=4-k．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．