Question

一動(dòng)圓與已知圓O₁：（x+3）²+y²=1外切，與圓O₂：（x-3）²+y²=81內(nèi)切，試求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,圓與圓的位置關(guān)系及其判定

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由于圓O₁：（x+3）²+y²=1，圓O₂：（x-3）²+y²=81，動(dòng)圓M分別與圓O₁相外切，與圓O₂相內(nèi)切．故可知?jiǎng)狱c(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)O₁（-3，0）、O₂（3，0）的距離之和為6，從而軌跡是橢圓，故可求方程；

解答： 解：設(shè)M（x，y），動(dòng)圓M的半徑為r（r＞0），
則由題意知|MO₁|=1+r，|MO₂|=9-r，
于是|MO₁|+|MO₂|=10，即動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)O₁（-3，0）、O₂（3，0）的距離之和為10．
又因?yàn)?nbsp;10=|MO₁|+|MO₂|＞|O₁O₂|=6，
所以點(diǎn)M在以兩定點(diǎn)O₁（-3，0）、O₂（3，0）為焦點(diǎn)，10為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓上．
設(shè)此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，這里a=5，c=3，
則  b²=a²-c²=16．
因此，動(dòng)圓圓心M所在的曲線方程為

x2

25

+

y2

16

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題以圓與圓的位置關(guān)系為依托，考查軌跡方程，軌跡是利用圓與圓的位置關(guān)系，得出軌跡是橢圓，從而得解．