Question

已知平面內(nèi)一動點P到定點F（2，0）的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于2．
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點F作不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點．問：在x軸上是否存在點M，使得x軸平分∠AMB？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)平面內(nèi)一動點P到定點F（2，0）的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于2，可得P到F的距離等于P到直線x=-2的距離，從而擴(kuò)大圓心P的軌跡為以F（2，0）為焦點的拋物線，即可求得軌跡C的方程；
（Ⅱ）MQ平分∠AMB，k_AM=-k_MB，利用韋達(dá)定理，可得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵平面內(nèi)一動點P到定點F（2，0）的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于2，
∴P到F的距離等于P到直線x=-2的距離，
∴圓心P的軌跡為以F（2，0）為焦點的拋物線，
∴軌跡C的方程為y²=8x；
（Ⅱ）設(shè)M（t，0），直線l：x=my+2，代入y²=8x可得y²-8my-16=0，
令A(yù)（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16
∵M(jìn)Q平分∠AMB，
∴k_AM=-k_MB，
∴y₂（x₁-t）+y₁（x₂-t）=0，
∴y₂（my₁+2-t）+y₁（my₂+2-t）=0，
∴2my₁y₂+（2-t）（y₁+y₂）=0，
∴2m•（-16）+（2-t）×8m=0，
∴2m（8-4t）=0，
∴t=2，即M（2，0），MQ平分∠AMB．

點評：本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，正確運用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．