Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面△ABC中，∠C=90°，BC=

2

，BB₁=2，O是AB₁的中點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn)，M是CC₁的中點(diǎn)，
（1）證明：OD∥平面BB₁C₁C；  
（2）試證：BM⊥AB₁．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連B₁C利用中位線的性質(zhì)推斷出OD∥B₁C，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理證明出OD∥平面BB₁C₁C．
（2）先利用線面垂直的性質(zhì)判斷出CC₁⊥AC，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理證明出AC⊥平面BB₁C₁C，進(jìn)而可知AC⊥MB．利用證明△BCD∽△B₁BC，推斷出∠CBM=∠BB₁C，推斷出BM⊥B₁C，最后利用線面垂直的判定定理證明出BM⊥平面AB₁C，進(jìn)而可知BM⊥AB₁．

解答： 證明：（1）連B₁C，∵O為AB₁中點(diǎn)，D為AC中點(diǎn)，
∴OD∥B₁C，
又B₁C?平面BB₁C₁C，OD?平面BB₁C₁C，
∴OD∥平面BB₁C₁C．
（2）連接B₁C，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴CC₁⊥平面ABC
AC?平面ABC，
∴CC₁⊥AC，
又AC⊥BC，CC₁，BC?平面BB₁C₁C，
∴AC⊥平面BB₁C₁C，BM?平面BB₁C₁C，
∴AC⊥MB．
在Rt△BCM與Rt△B₁BC中，

CM

BC

=

CB

BB1

=

2

2

，
∴△BMC∽△B₁BC，
∴∠CBM=∠BB₁C，
∴∠BB₁C+∠B₁BM=∠CBM+∠B₁BM=90°，
∴BM⊥B₁C，
AC，B₁C?平面AB₁C，
∴BM⊥AB₁C，
∵AB₁?平面AB₁C，
∴BM⊥AB₁．

點(diǎn)評：本題主要考查了線面平行和線面垂直的判定定理的應(yīng)用．證明線線平行和線線垂直是解題的關(guān)鍵．