【題目】已知函數(shù)f(x)=
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,a+ )(a>0)上存在極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)x≥1時(shí),不等式f(x)≥ 恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)定義域?yàn)椋?,+∞), f,

由f′(x)=0x=1,當(dāng)0<x<1時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x>1時(shí),f′(x)<0,

則f(x)在(0,1)上單增,在(1,+∞)上單減,

所以函數(shù)f(x)在x=1處取得唯一的極值.

由題意得 ,故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為


(2)解:當(dāng)x≥1時(shí),不等式

,由題意,k≤g(x)在[1,+∞)恒成立.

令h(x)=x﹣lnx(x≥1),則 ,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào).

所以h(x)=x﹣lnx在[1,+∞)上單調(diào)遞增,h(x)≥h(1)=1>0

因此 ,則g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,g(x)min=g(1)=2

所以k≤2,即實(shí)數(shù)k的取值范圍為(﹣∞,2].


【解析】(1)求導(dǎo)數(shù),確定函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值,根據(jù)函數(shù)在區(qū)間(a,a+ )(a>0)上存在極值點(diǎn),可得 ,即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)當(dāng)x≥1時(shí),分離參數(shù),構(gòu)造 ,證明g(x)在[1,+∞)上是單調(diào)遞增,所以[g(x)]min=g(1)=2,即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題.

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B.8
C.9
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A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>a>b
D.a>c>b

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A.(1,2)
B.(2,+∞)
C.
D.

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(2)若 ,求m的值;
(3)當(dāng)m=1時(shí),若 ,求k的最小值.

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是否需要志愿 性別

需要

40

30

不需要

160

270

  1. 估計(jì)該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例;
  2. 能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)?
  3. 根據(jù)(2)的結(jié)論,能否提供更好的調(diào)查方法來(lái)估計(jì)該地區(qū)老年人,需要志愿幫助的老年人的比例?說(shuō)明理由

附:

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