Question

11．設(shè)平面向量$\overrightarrow m=（cosα，sinα）$（0≤α＜2π），$\overrightarrow n=（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$
（1）證明；$（\overrightarrow m+\overrightarrow n）⊥（\overrightarrow m-\overrightarrow n）$
（2）當$|{\sqrt{3}\overrightarrow m+\overrightarrow n}|=|{\overrightarrow m-\sqrt{3}\overrightarrow n}$|，求α．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$的坐標即可求出$（\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}）•（\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}）={\overrightarrow{m}}^{2}-{\overrightarrow{n}}^{2}=0$，從而便得到$（\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}）⊥（\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}）$；
（2）對$|\sqrt{3}\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}|=|\overrightarrow{m}-\sqrt{3}\overrightarrow{n}|$兩邊平方，從而可得到$-\frac{1}{2}cosα+\frac{\sqrt{3}}{2}sinα=0$，進一步得到$sin（α-\frac{π}{6}）=0$，根據(jù)α的范圍求出$α-\frac{π}{6}$的范圍，從而得到α的范圍．

解答 解：（1）由條件：$（\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}）•（\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}）={\overrightarrow{m}}^{2}-{\overrightarrow{n}}^{2}$=$（co{s}^{2}α+si{n}^{2}α）-（\frac{1}{4}+\frac{3}{4}）=0$；
∴$（\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}）⊥（\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}）$；
（2）對$|\sqrt{3}\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}|=|\overrightarrow{m}-\sqrt{3}\overrightarrow{n}|$兩邊平方得：
$3{\overrightarrow{m}}^{2}+2\sqrt{3}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}+{\overrightarrow{n}}^{2}$=${\overrightarrow{m}}^{2}-2\sqrt{3}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}+3{\overrightarrow{n}}^{2}$；
∴$3+2\sqrt{3}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}+1=1-2\sqrt{3}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}+3$；
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$；
即$-\frac{1}{2}cosα+\frac{\sqrt{3}}{2}sinα=sin（α-\frac{π}{6}）=0$；
∵0≤α＜2π；
∴$-\frac{π}{6}≤α-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$；
∴$α-\frac{π}{6}=0，或π$；
∴$α=\frac{π}{6}$，或$\frac{7π}{6}$．

點評 考查向量數(shù)量積的坐標運算，向量垂直的充要條件，以及兩角差的正弦公式，注意α的范圍．