19．如圖，在邊長為6的正三角形△ABC內(nèi)，△APQ的邊PQ在BC邊上滑動且PQ=2，求△APQ三邊的平方和的最大值與最小值．

分析 通過設QC=x（0≤x≤4），則BP=4-x，利用余弦定理可知AQ2=QC2+AC2-2QC•AC•cos60°、AP2=BP2+AB2-2BP•AB•coscos60°，進而計算可得結(jié)論．

解答 解：依題意，∠B=∠C=60°，AC=AB=6，
設QC=x（0≤x≤4），則BP=4-x，
由余弦定理可知：AQ2=QC2+AC2-2QC•AC•cos60°
=x2+36-6x，
同理AP2=BP2+AB2-2BP•AB•coscos60°
=（4-x）2+36-6（4-x）
=x2-2x+28，
∴記△APQ三邊的平方和為L，
則L=x2+36-6x+4+x2-2x+28
=2x2-8x+64
=2（x-2）2+56，
∴當x=0時L取最大值，即Lmax=2（0-2）2+56=64；
當x=2時L取最小值，即Lmin=2（2-2）2+56=56；
∴△APQ三邊的平方和的最大值與最小值分別為64、56．

點評 本題考查解三角形，利用余弦定理是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．

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