Question

為加快海西建設(shè)步伐，甲公司對(duì)乙企業(yè)進(jìn)行扶持性技術(shù)改造．乙企業(yè)的經(jīng)營(yíng)狀況是：每月收入45萬元，但因設(shè)備老化，每個(gè)月需支付設(shè)備維修費(fèi)，第一個(gè)月為3萬元，以后逐月遞增2萬元．甲公司決定投資400萬元扶持改造乙企業(yè)；據(jù)測(cè)算，改造后乙企業(yè)第一個(gè)月收入為16萬元，在前4個(gè)月中，每月收入都比上個(gè)月增長(zhǎng)50%，而后各月收入都穩(wěn)定在第五個(gè)月的水平上．若設(shè)備改造時(shí)間可忽略不計(jì)，那么從第一個(gè)月開始至少經(jīng)過多少個(gè)月，改造后的乙企業(yè)的累計(jì)總收益多于仍按現(xiàn)狀生產(chǎn)所帶來的總收益？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)題意設(shè)出變量A_n，B_n，求出函數(shù)式子，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)得出不等關(guān)系，回答實(shí)際問題．

解答： 解：設(shè)乙企業(yè)仍按現(xiàn)狀生產(chǎn)至第n個(gè)月所帶來的總收益為A_n萬元，進(jìn)行技術(shù)改造后生產(chǎn)至第n個(gè)月所帶來的總收益為B_n
①A_n=45n-[3+5+…+（2n+1）]=45n-（n²+2n）=43n-n²
②當(dāng)n≥5 時(shí)，B_n=

16[( 3 2 )5-1]

3 2 -1

+16•（

3

2

）⁴•（n-5）-400=81n-594；
當(dāng)n≤5時(shí)，B_n=

16[( 3 2 )n-1]

3 2 -1

-400=16[2（

3

2

）ⁿ-27]＜0 
顯然，在前5個(gè)月里，對(duì)乙企業(yè)的技改投資未能收回，
當(dāng)n≥5 時(shí)，B_n-A_n=n²+38n-594＞0，則n≥12所以，至少經(jīng)過12個(gè)月，改造后的乙企業(yè)的累計(jì)總收益多于仍按現(xiàn)狀生產(chǎn)所帶來的總收益．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考察了函數(shù)，數(shù)列，不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用，難度較大，需要仔細(xì)化簡(jiǎn)運(yùn)算．