Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x-8，若對(duì)一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，將不等式恒成立問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用基本不等式的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=x²-2x-8．當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）≥（m+2）x-m-15恒成立，
∴x²-2x-8≥（m+2）x-m-15，即x²-4x+7≥m（x-1）．
∴對(duì)一切x＞2，均有不等式

x2-4x+7

x-1

≥m成立．
而

x2-4x+7

x-1

=（x-1）+

4

x-1

-2≥2

(x-1)• 4 x-1

-2=4-2=2，（當(dāng)x=3時(shí)等號(hào)成立）．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式恒成立問題，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及基本不等式是解決本題的關(guān)鍵．