Question

正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足：a_n²-（2n-1）a_n-2n=0．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）令b_n=

1

(n+1)an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．并求使T_n＞

5

11

成立的最小正整數(shù)n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）求出b_n=

1

(n+1)an

的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵a_n²-（2n-1）a_n-2n=0，
∴（a_n-2n）（a_n+1）=0，
又∵各項(xiàng)為正，∴a_n=2n．
（2）∵b_n=

1

(n+1)an

=

1

2n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

2

（1-

1

n+1

），
若T_n＞

5

11

，即

1

2

（1-

1

n+1

）＞

5

11

，
解得n＞10，即使T_n＞

5

11

成立的最小正整數(shù)n=11．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和，利用裂項(xiàng)法是解決本題的關(guān)鍵．