Question

【題目】已知離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)為A，且橢圓E經(jīng)過(guò)與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，且直線AC和直線AD的斜率之積為.

（I）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）求證：直線l過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（I）；（II）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)離心率,可得的關(guān)系,代入解析式,代入的坐標(biāo),即可求得,進(jìn)而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（Ⅱ）設(shè)出直線的方程,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)可知,利用韋達(dá)定理表示出,由直線AC和直線AD的斜率之積為可得關(guān)于和的方程,即可求得和的關(guān)系,代入直線方程即可求得所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo);也可將方程設(shè)為,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)可知,利用韋達(dá)定理表示出,由直線AC和直線AD的斜率之積為可得關(guān)于和的方程,化簡(jiǎn)求得的值,即可求得所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).

（I）

又橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)

橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（II）方法一：的方程為,

設(shè),

聯(lián)立方程組,

化簡(jiǎn)得,

由解得,

且.

,

,

化簡(jiǎn)可得：

或（舍）,滿足

直線l的方程為,

直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

方法二：設(shè)l的方程為,

設(shè),

聯(lián)立方程組,

化簡(jiǎn)得,

解得：,

且

,

,

化簡(jiǎn)可得：

或者（舍）滿足

直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn).