Question

某商場(chǎng)在元旦舉行促銷活動(dòng)，其中有一種過(guò)關(guān)游戲，要求參與者闖兩關(guān)，只有過(guò)了第一關(guān)才能闖第二關(guān)，每關(guān)最多可以闖兩次，連續(xù)兩次失敗退出游戲，過(guò)關(guān)者給予一種“代金劵”獎(jiǎng)勵(lì)，在本商場(chǎng)購(gòu)物可抵相同面值的現(xiàn)金，只過(guò)第一關(guān)獲代金劵512元，兩關(guān)全過(guò)可獲代金劵1024沿，A、B、C、D四位顧客有幸參與了這次過(guò)關(guān)游戲，已知這四名顧客每人每次闖關(guān)成功的概率均為

3

4

，且每次過(guò)關(guān)與否互不影響，在該次游戲中，這四名顧客不放棄所有機(jī)會(huì)．
（1）求顧客A只獲得512元代金劵的概率；
（2）求顧客A所獲得的代金劵x的數(shù)學(xué)期望；
（3）求四名顧客中獲得1024元代金劵的人數(shù)為y，求y的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）“顧客A第i次闖第一關(guān)成功”記作事件A_i（i=1，2），“顧客A第i次闖第二關(guān)成功”記作事件B_i（i=1，2），
“顧客A闖第一關(guān)成功”記作事件A，“顧客A闖第二關(guān)成功”記作事件B，則P（A_i）=P（B_i）=

3

4

，P（A）=1-P（A₁A₂）=P（B）=

15

16

．設(shè)事件C=“顧客A只獲得512元代金券”，由P（C）=P（A₁B₁B₂）+P（A₁A₂B₁B₂），能求出顧客A只獲得512元代金券．
（2）X的可能取值為0，512，1024，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出顧客A所獲代金劵x的數(shù)學(xué)期望．
（3）由題意，Y～B（4，

225

256

），由此能求出y的數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）“顧客A第i次闖第一關(guān)成功”記作事件A_i（i=1，2），
“顧客A第i次闖第二關(guān)成功”記作事件B_i（i=1，2），
“顧客A闖第一關(guān)成功”記作事件A，“顧客A闖第二關(guān)成功”記作事件B，
則P（A_i）=P（B_i）=

3

4

，
P（A）=1-P（A₁A₂）=1-

1

4

×

1

4

=

15

16

，
P（B）=1-P（B₁B₂）=1-

1

4

×

1

4

=

15

16

．
設(shè)事件C=“顧客A只獲得512元代金券”，
則P（C）=P（A₁B₁B₂）+P（A₁A₂B₁B₂）=

3

4

×

1

4

×

1

4

+

3

4

×

1

4

×

1

4

=

15

256

．
（2）X的可能取值為0，512，1024，
P（X=0）=P(A1A2)=

1

4

×

1

4

=

1

16

，
P（X=512）=P（A）=P（A₁B₁B₂）+P（A₁A₂B₁B₂）
=

3

4

×

1

4

×

1

4

+

3

4

×

1

4

×

1

4

=

15

256

，
P（X=1024）=P（AB）=

15

16

×

15

16

=

225

256

，
顧客A所獲得的代金劵x的數(shù)學(xué)期望：
EX=0×

1

16

+512×

15

256

+1024×

225

256

=930（元）．
（3）由題意，Y～B（4，

225

256

），
∴y的數(shù)學(xué)期望EY=4×

225

256

=

225

64

≈3人．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．