【題目】如圖，四棱錐的底面是矩形，，點為的中點，與交于點.

（Ⅰ）求異面直線與所成角的余弦值；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見證明；（Ⅲ）

【解析】

（I）根據(jù)判斷出是異面直線成角，判斷三角形是直角三角形后，直接計算出線線角的余弦值.（II）先證得,然后證得，由此證得平面，從而證得平面平面.（III）過點作與的延長線交于點，證得直線與平面所成角，在中，求得線面角的正弦值.

解：（Ⅰ）∵是矩形，∴∴是異面直線成角

在中， ∴在中，

∴異面直線成角余弦值為.

（Ⅱ）∵，點為的中點∴，又∵

∴

又∵，∴

又∵∴

（Ⅲ）過點作與的延長線交于點，

∵，為斜線在面內(nèi)的射影

∴直線與平面所成角

在中，∴

∴直線與平面所成角的正弦值

練習冊系列答案
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【題目】某中學的甲、乙、丙三名同學參加高校自主招生考試，每位同學彼此獨立的從四所高校中選2所.

（1）求甲、乙、丙三名同學都選高校的概率；

（2）若甲必選，記為甲、乙、丙三名同學中選校的人數(shù)，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.

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【題目】為增強市民的環(huán)境保護意識，某市面向全市學校征召100名教師做義務(wù)宣傳志愿者，成立環(huán)境保護宣傳組，現(xiàn)把該組的成員按年齡分成5組，如下表所示：

組別

年齡

人數(shù)

1

5

2

35

3

20

4

30

5

10

（Ⅰ）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法選出6名志愿者參加某社區(qū)宣傳活動，應(yīng)從第3，4，5組各選出多少名志愿者？

（Ⅱ）在Ⅰ的條件下，宣傳組決定在這6名志愿者中隨機選2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗.

（ⅰ）列出所有可能結(jié)果；

（ⅱ）求第4組至少有1名志愿者被選中的概率。

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【題目】“微信運動”已經(jīng)成為當下最熱門的健身方式，小李的微信朋友圈內(nèi)也有大量的好友參加了“微信運動”.他隨機的選取了其中30人，記錄了他們某一天走路的步數(shù)，將數(shù)據(jù)整理如下：

步數(shù)

人數(shù)

5

13

12

（1）若采用樣本估計總體的方式，試估計小李所有微信好友中每日走路步數(shù)超過5000步的概率；

（2）已知某人一天的走路步數(shù)若超過8000步則他被系統(tǒng)評定為“積極型”，否則評定為“懈怠型”，將這30人按照“積極型”、“懈怠型”分成兩層，進行分層抽樣，從中抽取5人，將這5人中屬于“積極型”的人依次記為，屬于“懈怠型”的人依次記為，現(xiàn)再從這5人中隨機抽取2人接受問卷調(diào)查.設(shè)為事件“抽取的2人來自不同的類型”，求事件發(fā)生的概率.

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【題目】在三棱柱中，底面是邊長為4的等邊三角形，側(cè)棱垂直于底面，，M是棱AC的中點.

（1）求證：平面；

（2）求四棱錐的體積.

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【題目】從甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中選派三人分別從事翻譯、導游、禮儀三項不同工作，若其中乙和丙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這三項工作，則不同的選派方案共有( )

A.36種B.12種C.18種D.24種

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【題目】某人設(shè)計一項單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形（邊長為3個單位）的頂點處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點數(shù)為，則棋子就按逆時針方向行走個單位，一直循環(huán)下去.則某人拋擲三次次骰子后棋子恰好又回到點處的所有不同走法共有（ ）

A.21種B.24種C.25種D.27種

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【題目】從某地區(qū)隨機抽測120名成年女子的血清總蛋白含量（單位：），由測量結(jié)果得如圖頻數(shù)分布表：

（1）①仔細觀察表中數(shù)據(jù)，算出該樣本平均數(shù)______；

②由表格可以認為，該地區(qū)成年女子的血清總蛋白含量Z服從正態(tài)分布.其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本標準差s.經(jīng)計算，該樣本標準差.

醫(yī)學上，Z過高或過低都為異常，Z的正常值范圍通常取關(guān)于對稱的區(qū)間，且Z位于該區(qū)間的概率為，試用該樣本估計該地區(qū)血清總蛋白正常值范圍.

120名成年女人的血清總蛋白含量的頻數(shù)分布表

分組

頻數(shù)f

區(qū)間中點值x

2

65

130

8

67

536

12

69

828

15

71

1065

25

73

1825

24

75

1800

16

77

1232

10

79

790

7

81

567

1

83

83

合計

120

8856

（2）結(jié)合（1）中的正常值范圍，若該地區(qū)有5名成年女子檢測血清總蛋白含量，測得數(shù)據(jù)分別為83.2，80，73，59.5，77，從中隨機抽取2名女子，設(shè)血清總蛋白含量不在正常值范圍的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.

附：若，則.

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【題目】已知橢圓的離心率為,點在橢圓上．直線過點，且與橢圓 交于，兩點，線段的中點為．

（I）求橢圓的方程；

（Ⅱ）點為坐標原點，延長線段與橢圓交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求出此時直線的方程，若不能，說明理由．

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