Question

（2011•海淀區(qū)二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)兩個焦點之間的距離為2，且其離心率為

2

2

．
（Ⅰ） 求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ） 若F為橢圓C的右焦點，經(jīng)過橢圓的上頂點B的直線與橢圓另一個交點為A，且滿
足

BA

•

BF

=2，求△ABF外接圓的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得：c=1，a=

2

，∴b=

a2-c2

=1，進而求出橢圓的方程．
（Ⅱ）由已知可得B（0，1），F(xiàn)（1，0），設(shè)A（x₀，y₀），則根據(jù)題意可得：x₀-（y₀-1）=2，即x₀=1+y₀，再聯(lián)立橢圓的方程可得：A（0，-1）或A(

4

3

，

1

3

)，進而根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)求出元得方程．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得：2c=2，e=

c

a

=

2

2

，…（1分）
∴c=1，a=

2

，
∴b=

a2-c2

=1，…（4分）
所以橢圓C的標準方程是 

x2

2

+y2=1．…（5分）
（Ⅱ）由已知可得B（0，1），F(xiàn)（1，0），…（6分）
設(shè)A（x₀，y₀），則

BA

=(x0，y0-1)，

BF

=(1，-1)，
∵

BA

•

BF

=2，
∴x₀-（y₀-1）=2，即x₀=1+y₀，…（8分）
代入

x02

2

+y02=1，
得：

x0=0 y0=-1

或

x0= 4 3 y0= 1 3

，
即A（0，-1）或A(

4

3

，

1

3

)．…（10分）
當(dāng)A為（0，-1）時，|OA|=|OB|=|OF|=1，
△ABF的外接圓是以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓，該外接圓的方程為x²+y²=1；                 …（12分）
當(dāng)A為(

4

3

，

1

3

)時，k_BF=-1，k_AF=1，
所以△ABF是直角三角形，其外接圓是以線段BA為直徑的圓．
由線段BA的中點(

2

3

，

2

3

)以及|BA|=

2 5

3

可得△ABF的外接圓的方程為(x-

2

3

)2+(y-

2

3

)2=

5

9

．…（14分）
綜上所述，△ABF的外接圓的方程為x²+y²=1或(x-

2

3

)2+(y-

2

3

)2=

5

9

．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓的方程中a，b，c之間的關(guān)系，以及圓的有關(guān)性質(zhì)與向量的數(shù)量積表示．