Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁∩A₁B=E，AC₁∩A₁C=M，F(xiàn)為B₁C₁的中點，其直觀圖和三視圖如圖所示，

（1）求證：EF⊥平面A₁BC；
（2）求二面角A-A₁B-C的大�。�

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由正方形性質(zhì)得AB₁⊥A₁B，由線面垂直得A₁B⊥AC₁，同理，A₁C⊥AC₁，從而得到AC₁⊥平面A₁BC，由此能證明EF⊥平面A₁BC．
（2）以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-A₁B-C的平角．

解答： （1）證明：∵ABB₁A₁是正方形，∴AB₁⊥A₁B，
∵B₁C₁⊥BB₁，B₁C₁⊥A₁B₁，∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，
∴B₁C₁⊥A₁B，∴A₁B⊥AC₁，
同理，A₁C⊥AC₁，
∴AC₁⊥平面A₁BC，
∵EF∥AC₁，∴EF⊥平面A₁BC．
（2）解：以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，BB₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
由題意知B（0，0，0），A₁（a，0，a），A（a，0，0），C（0，a，0），

BA1

=(a，0，a)，

BC

=(0，a，0)，
平面BAA₁的法向量

m

=(0，1，0)，
設(shè)平面A₁BC的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • BA1 =ax+az=0 n • BC =ay=0

，取x=1，得

n

=(1，0，-1)，
設(shè)二面角二面角A-A₁B-C的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

0

2

|，
∴二面角A-A₁B-C的平角為90°．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．