【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求證：；

（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）證法一：令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值為（其中為函數(shù)的極小值點(diǎn)），然后利用基本不等式即可得出證明；

證法二：先證明成立，再證明出不等式，利用不等式的基本性質(zhì)可得出；

（2）令，得出，等式兩邊取對(duì)數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，對(duì)函數(shù)最小值的符號(hào)進(jìn)行分類討論，由此可得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（1）證法一：令，，

，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

，，，

存在，使，則，可得，

由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.

所以，故原不等式成立；

證法二：先證明不等式，構(gòu)造函數(shù)，其中，

則對(duì)任意的恒成立，

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，.

同理可證，，則，

即；

（2）令，得，兩邊取對(duì)數(shù)得，

令，則，令得.

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.

.

①當(dāng)時(shí)，即得時(shí)，，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，即得時(shí)，，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，即得時(shí)，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上各有個(gè)零點(diǎn).

則函數(shù)有個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，設(shè)拋物線與的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)且與相切的直線交于另一點(diǎn)，過(guò)且與相切的直線交于另一點(diǎn)，記為的面積.

（Ⅰ）求的值（用表示）；

（Ⅱ）若，求的取值范圍.

注：若直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與拋物線的對(duì)稱軸不平行也不重合，則稱該直線與拋物線相切.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】北方的冬天戶外冰天雪地，若水管裸露在外，則管內(nèi)的水就會(huì)結(jié)冰從而凍裂水管，給用戶生活帶來(lái)不便．每年冬天來(lái)臨前，工作人員就會(huì)給裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保溫帶，用一條保溫帶盤旋而上一次包裹到位．某工作人員采用四層包裹法（除水管兩端外包裹水管的保溫帶都是四層）：如圖1所示是相鄰四層保溫帶的下邊緣輪廓線，相鄰兩條輪廓線的間距是帶寬的四分之一．設(shè)水管的直徑與保溫帶的寬度都為4cm．在圖2水管的側(cè)面展開圖中，此保溫帶的輪廓線與水管母線所成的角的余弦值是（ ）（保溫帶厚度忽略不計(jì)）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知多面體中，為矩形，平面，，且，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求二面角的平面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某校高三年級(jí)有男生人，學(xué)號(hào)為，，，；女生人，學(xué)號(hào)為，，，.對(duì)高三學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，按學(xué)號(hào)采用系統(tǒng)抽樣的方法，從這名學(xué)生中抽取人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查（第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，抽到的號(hào)碼為）；再?gòu)倪@名學(xué)生中隨機(jī)抽取人進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，則這人中既有男生又有女生的概率是（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）若，討論的單調(diào)性；

（2）若在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，且滿.

（1）求的大小；

（2）再在①，②，③這三個(gè)條件中，選出兩個(gè)使唯一確定的條件補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答問(wèn)題.若________，________，求的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族，己知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（）和嚴(yán)重急性呼吸綜合征（）等較嚴(yán)重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒（）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見(jiàn)體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴(yán)重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎、嚴(yán)重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.

某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性，現(xiàn)有n（）份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：

方式一：逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次.

方式二：混合檢驗(yàn)，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn).

若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽(yáng)性，就要對(duì)這k份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為.

假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為p（）.現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為.

（1）若，試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若p與干擾素計(jì)量相關(guān)，其中（）是不同的正實(shí)數(shù)，

滿足且（）都有成立.

（i）求證：數(shù)列等比數(shù)列；

（ii）當(dāng)時(shí)，采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值更少，求k的最大值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面平面，且，，為的中點(diǎn)，．

（1）求證：平面；

（2）求三棱錐的體積．

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