Question

5．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y+4=0，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.（α$為參數(shù)）
（Ⅰ）已知在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），求點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P₀的直角坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出P（1，1），設(shè)p₀（x₀，y₀），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線垂直的性質(zhì)列出方程組能求出P₀的直角坐標(biāo)．
（Ⅱ）設(shè)$Q（\sqrt{3}cosα，sinα）$，求出點(diǎn)Q到直線l的距離，由三角函數(shù)性質(zhì)能求出Q到直線l的距離的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），
∴$x=\sqrt{2}cos\frac{π}{4}=1$，y=$\sqrt{2}sin\frac{π}{4}$=1，
∴P（1，1），
設(shè)p₀（x₀，y₀），
∵直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y+4=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{y_0}-1}}{{{x_0}-1}}=-1\\ \frac{{{x_0}+1}}{2}-\frac{{{y_0}+1}}{2}+4=0\end{array}\right.，解得\left\{\begin{array}{l}{x_0}=-3\\{y_0}=5\end{array}\right.$，
∴P₀的直角坐標(biāo)為（-3，5）．
（Ⅱ）∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.（α$為參數(shù)），
∴設(shè)$Q（\sqrt{3}cosα，sinα）$，
點(diǎn)Q到直線l：x-y+4=0的距離：
$d=\frac{{|{\sqrt{3}cosα-sinα+4}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{2cos（α+\frac{π}{6}）+4}|}}{{\sqrt{2}}}$，
∴當(dāng)$cos（α+\frac{π}{6}）=-1$時(shí)，${d_{min}}=\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的直角坐標(biāo)的求法，考查點(diǎn)到直線的距離的最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)、直角坐標(biāo)互化公式及點(diǎn)到直線距離公式、三角函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．