Question

3．從某學(xué)校高三年級(jí)共800名男生中隨機(jī)抽取50人測(cè)量身高．據(jù)測(cè)量，被測(cè)學(xué)生身高全部介于155cm到195cm之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組[155，160）；第二組[160，165）；…；第八組[190，195]．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分．已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組、第七組、第八組人數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列．
（1）估計(jì)這所學(xué)校高三年級(jí)全體男生身高在180cm以上（含180cm）的人數(shù)及平均身高；
（2）求第六組、第七組的頻率并補(bǔ)充完整頻率分布直方圖；
（3）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩人，記他們的身高分別為x、y，求滿足“|x-y|≤5”的事件的概率．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖可得前五組頻率，進(jìn)而可得后三組頻率和人數(shù)，又可得后三組的人數(shù)，可得平均身高；
（2）易得后三組的$\frac{頻率}{組距}$，可得頻率分布直方圖；
（3）身高在[180，185）內(nèi)的人數(shù)為4，設(shè)為a、b、c、d，身高在[190，195]內(nèi)的人數(shù)為2，設(shè)為A、B，列舉可得總的基本事件共15種情況，事件“|x-y|≤5”所包含的基本事件個(gè)數(shù)有6+1=7，由概率公式可得．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖得前五組頻率為（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.82，
后三組頻率為1-0.82=0.18，人數(shù)為0.18×50=9，
∴學(xué)校高三年級(jí)全體男生身高在180 cm以上（含180 cm）的人數(shù)為800×0.18=144，
由頻率分布直方圖得第八組頻率為0.008×5=0.04，人數(shù)為0.04×50=2，
設(shè)第六組人數(shù)為m，則第七組人數(shù)為9-2-m=7-m，
又由等差數(shù)列可得m+2=2（7-m），解得m=4，
∴第六組人數(shù)為4，第七組人數(shù)為3，
∴平均身高為$\frac{1}{9}$（182.5×4+187.5×3+192.5×2）≈186.4
（2）由（1）可得第八組頻率為0.008×5=0.04，人數(shù)為0.04×50=2，
第六組人數(shù)為4，第七組人數(shù)為3，頻率分別等于0.08，0.06．
$\frac{頻率}{組距}$分別等于0.016，0.012．其完整的頻率分布直方圖如圖．

（3）由（2）知身高在[180，185）內(nèi)的人數(shù)為4，設(shè)為a、b、c、d，
身高在[190，195]內(nèi)的人數(shù)為2，設(shè)為A、B，
若x，y∈[180，185）時(shí)，有ab、ac、ad、bc、bd、cd共6種情況；
若x，y∈[190，195]時(shí)，有AB共1種情況；
若x，y分別在[180，185）和[190，195]內(nèi)時(shí)，有aA、bA、cA、dA、aB、bB、cB、dB，共8種情況．
∴基本事件總數(shù)為6+1+8=15，事件“|x-y|≤5”所包含的基本事件個(gè)數(shù)有6+1=7，
∴P（|x-y|≤5）=$\frac{7}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查列舉法計(jì)算基本事件數(shù)和事件發(fā)生的概率，涉及頻率分布直方圖，屬中檔題．