Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²-bx，設(shè)h（x）=f（x）-g（x）
（1）若g（2）=2，討論函數(shù)h（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)g（x）是關(guān)于x的一次函數(shù)，且函數(shù)h（x）有兩個不同的零點x₁，x₂．
①求b的取值范圍；
②求證：x₁x₂＞e²．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)g（2）=2，求出h（x）的表達式，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可討論函數(shù)h（x）的單調(diào)性；
（2）根據(jù)函數(shù)g（x）是關(guān)于x的一次函數(shù)，確定a=0，根據(jù)函數(shù)h（x）有兩個不同的零點x₁，x₂．即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵g（2）=2，∴a-b=1，即b=a-1，
∴h（x）=f（x）-g（x）=lnx-

1

2

ax²+（a-1）x，其定義域為（0，+∞）
h′（x）=

1

x

-ax+（a-1）=

-ax2+(a-1)x+1

x

=

-(ax+1)(x-1)

x

，
（Ⅰ）若a≥0，則函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)增；在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)減．
（Ⅱ）若a＜0，令h′（x）=0得x1=-

1

a

，x2=1
①當a＜-1時，則0＜-

1

a

＜1，則函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，-

1

a

）上單調(diào)增；在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)增；在區(qū)間（-

1

a

，1）上單調(diào)減．
②當a=-1時，h′（x）＜0，則函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)減．
③當-1＜a＜0時，則-

1

a

＞1，則函數(shù)h （x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)增；在區(qū)間（-

1

a

，+∞）上單調(diào)增；在區(qū)間（1，-

1

a

）上單調(diào)減．

（2）∵函數(shù)g（x）是關(guān)于x的一次函數(shù)
∴h（x）=lnx+bx，其定義域為（0，+∞）
①由h（x）=0得b=-

lnx

x

，記φ(x)=-

lnx

x

，則φ′(x)=

lnx-1

x2

∴φ(x)=-

lnx

x

在（0，e）單調(diào)減，在（e，+∞）單調(diào)增，
∴當x=e時φ(x)=-

lnx

x

取得最小值-

1

e

又φ（1）=0，所以x∈（0，1）時φ（x）＞0，而x∈（1，+∞）時φ（x）＜0
∴b的取值范圍是（-

1

e

，0）
②由題意得lnx₁+bx₁=0，lnx₂+bx₂=0
∴l(xiāng)nx₁x₂+b（x₁+x₂）=0，lnx₂-lnx₁+b（x₂-x₁）=0
∴

lnx1x2

lnx2-lnx1

=

x1+x2

x2-x1

，不妨設(shè)x₁＜x₂
要證x1x2＞e2，只需要證lnx1x2=

x1+x2

x2-x1

(lnx2-lnx1)＞2
即證lnx2-lnx1＞

2(x2-x1)

x2+x1

，設(shè)t=

x2

x1

(t＞1)
則F(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

=lnt+

4

t+1

-2
∴F′(t)=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0
∴函數(shù)F（t）在（1，+∞）上單調(diào)增，而F（1）=0，
∴F（t）＞0即lnt＞

2(t-1)

t+1

∴x1x2＞e2．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及不等式的證明，綜合性較強，運算量較大．