Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+\frac{4}{x}，x≥4}\\{lo{g}_{2}x，x＜4}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f（x）=k有兩個不同的根，則實數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （-∞，2）
• C． [1，2）
• D． （1，2）

Answer 1

分析 分類討論：當(dāng)x≥4時，f（x）=1+$\frac{4}{x}$是減函數(shù)，且1＜f（x）≤2；當(dāng)x＜4時，f（x）=log₂x在（0，4）上是增函數(shù)，且f（x）＜f（4）=2；從而化方程f（x）=k的根為
函數(shù)f（x）與y=k的圖象的交點；從而解得．

解答 解：①當(dāng)x≥4時，
f（x）=1+$\frac{4}{x}$是減函數(shù)，且1＜f（x）≤2；
②當(dāng)x＜4時，
f（x）=log₂x在（0，4）上是增函數(shù)，
且f（x）＜f（4）=2；
且關(guān)于x的方程f（x）=k有兩個不同的根可化為函數(shù)f（x）與y=k有兩個不同的交點；
故實數(shù)k的取值范圍是（1，2）；
故選：D．

點評 本題考查了方程的根與函數(shù)的圖象的交點的關(guān)系應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的圖象應(yīng)用，屬于中檔題．