Question

【題目】已知動圓過定點(diǎn)，且與直線相切.

（1）求動圓的圓心軌跡的方程；

（2）是否存在直線，使過點(diǎn)（0，1），并與軌跡交于兩點(diǎn)，且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）直線存在，其方程為.

【解析】

（1）設(shè)為動圓圓心，根據(jù)圓與直線相切可得，結(jié)合拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，從而解決問題；

（2）對“是否存在性”問題，先假設(shè)存在，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立結(jié)合根的判別式求出的范圍，再利用向量垂直求出值，看它們之間是否矛盾，沒有矛盾就存在，否則不存在．

（1）如圖，

設(shè)為動圓圓心，，

過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由題意知：

即動點(diǎn)到定點(diǎn)與到定直線的距離相等，

由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，

其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，

動圓圓心的軌跡方程為；

（2）由題可設(shè)直線的方程為

由得；

△，

解得或

設(shè)，，，，則，

由，即，

得

解得或（舍去），

直線存在，其方程為．